Cozy Coffee - Ökonomische Analysis

Station 1 · Kostenarten

Das Rätsel der Kaffeerösterei

Die Inhaberin Maya prüft die Abrechnungen der hauseigenen Kaffeerösterei aus dem 1. Quartal und stößt auf seltsame Zahlen:

Quartalsabrechnung Auszug

Jan (Betriebsferien, 0 ME): 10 GE
Feb (Produktion 4 ME): 22 GE
März (Produktion 6 ME): 28 GE

Euer Arbeitsauftrag: Maya benötigt für die Budgetplanung des nächsten Quartals ein mathematisches Kostenmodell K(x). Analysiert die Abrechnungsdaten, um die festen Grundkosten K_f, die variablen Stückkosten k_v sowie die Gesamtkosten für eine Großbestellung von 12 ME (mit Zettel & Stift!) exakt zu bestimmen.

Kostenverlauf K(x) explorieren Produktion x = 4 ME

Gesamtkosten K(x)

Variable Kosten K_v(x)

Fixkosten-Sockel K_f

Live-Einsetz-Lupe (Musterrechnung am Regler): Kapazitätsbereich Diagramm: 0 bis 10 ME

K(4) = 3 · 4 + 10 = 12 + 10 = 22 GE

Ergebnisprüfung zur Abrechnung

a) Fixkosten K_f (in GE)?

b) Stückkosten k_v (in GE/ME)?

c) ✍️ Kosten K(12) für 12 ME (GE)?

Gestufte Hilfe:

Dein Lernziel-Check zu Station 1

Wenn du diese Station erfolgreich bearbeitet und verstanden hast, hast du Folgendes gelernt:

Du kannst Fixkosten (K_f) und variable Stückkosten (k_v) aus betrieblichen Daten und Graphen ermitteln.
Du kannst die lineare Kostenfunktion K(x) = k_v · x + K_f aufstellen und Gesamtkosten für beliebige Produktionsmengen berechnen.

Station 2 · Ertragsgesetzlicher Kostenverlauf

Das Kapazitäts-Dilemma der Rösterei

Maya beobachtet ein erstaunliches Phänomen beim Rösten: Die Zusatzkosten pro zusätzlichem Kilogramm Kaffee sind nicht konstant!

Die Beobachtung im Betrieb

Modell: K(x) = 0,5x³ - 4,5x² + 14,5x + 8

Phase 1 (Anfangsmenge 0 bis 3 ME):

Einarbeitung & eingespielte Öfen: Für jede weitere ME steigen die Gesamtkosten langsamer an. Die Röstung wird Stück für Stück effizienter.

Phase 2 (Hohe Auslastung ab 3 ME):

Maschinen laufen am Limit, Überstunden fallen an: Die Zusatzkosten pro ME schießen plötzlich überproportional in die Höhe!

Euer Forschungsauftrag: Erforscht den S-förmigen Kurvenverlauf mit dem Schieberegler. Achtet auf die rosa Tangente (sie zeigt, wie steil die Kosten in diesem Moment ansteigen). Findet heraus, wie die Fachbegriffe für die beiden Phasen heißen und bei welcher Menge x_W der Kostenzuwachs am geringsten ist!

Ertragsgesetzlicher Kostenverlauf K(x) Menge x = 3 ME

Bereich I (0 - 3 ME)

Bereich II (> 3 ME)

Wendepunkt x_W = 3

Momentaner Kostenanstieg (Tangente)

Begriffs- & Verlaufsprüfung Station 2

a) Verlauf von 0 bis 3 ME?

b) Verlauf für x > 3 ME?

c) Wendepunkt x_W (in ME)?

Gestufte Hilfe:

Dein Lernziel-Check zu Station 2

Wenn du diese Station erfolgreich bearbeitet und verstanden hast, hast du Folgendes gelernt:

Du kannst den degressiven (unterproportionalen) und progressiven (überproportionalen) Kostenbereich am S-förmigen Graphen unterscheiden und betriebswirtschaftlich begründen.
Du erkennst den Wendepunkt (x_W) als diejenige Produktionsmenge, bei der die Produktion am effizientesten wächst (geringster Kostenzuwachs).

Station 3 · Polypol: Erlös & Gewinn

Der Kaffeemarkt: Erlös & Gewinn im Polypol

Cozy Coffee verkauft geröstete Kaffeebohnen auf dem Großmarkt. Hier herrscht Polypol (vollkommene Konkurrenz): Der Marktpreis steht fest bei p = 8 GE/ME. Maya kann den Preis nicht verändern.

Gegebene Funktionsmodelle

Erlösfunktion E(x):

E(x) = p · x = 8 · x

Kostenfunktion K(x) (ertragsgesetzlich):

K(x) = 0,5x³ - 3x² + 7x + 8

Euer Arbeitsauftrag: Stellt die Termdarstellung der Gewinnfunktion G(x) = E(x) - K(x) für die Rösterei auf. Subtrahiert dafür die Gesamtkosten K(x) vom Erlös E(x) und tragt die ermittelten Koeffizienten ein.

Erlös E(x), Kosten K(x) & Gewinn G(x) im Polypol Menge x = 2 ME

Kurven-Fokus (Ein/Aus):

Live-Einsetz-Lupe (Wie setzt man x ein?): Musterrechnung für aktuellen Reglerwert

Ergebnisprüfung: Gewinnfunktion G(x)

G(x) =

x³

x²

Berechnet zusätzlich die konkreten Beträge für x = 4 ME:

Erlös E(4) in GE:

Kosten K(4) in GE:

Gewinn G(4) in GE:

Gestufte Hilfe:

Dein Lernziel-Check zu Station 3

Wenn du diese Station erfolgreich bearbeitet und verstanden hast, hast du Folgendes gelernt:

Du kannst im Polypol die lineare Erlösfunktion E(x) = p · x aufstellen.
Du beherrschst das fehlerfreie Aufstellen der Gewinnfunktion G(x) = E(x) − K(x) unter Beachtung der Minusklammer und kannst Erlös, Kosten und Gewinn für konkrete Mengen berechnen.

Station 4 · Gewinnschwelle, Gewinngrenze & Gewinnzone

Das Controlling-Gutachten im Polypol

Maya hat die Produktion im Polypol (Marktpreis p = 12 GE/ME) ausgeweitet. Ihre Kosten folgen der ertragsgesetzlichen Kostenfunktion K(x) = x³ - 6x² + 15x + 10.

Die Fragestellung der Geschäftsführung

Ab welcher Produktionsmenge x deckt der Erlös erstmals alle Kosten (Break-Even)? Und ab wann führen Überlastungen wieder zu Verlusten?

Erlösfunktion E(x):

E(x) = 12 · x

Gewinnfunktion G(x) = E(x) - K(x):

G(x) = -x³ + 6x² - 3x - 10

Euer Forschungs- & Rechnungsauftrag: Erforscht die Gewinnzone mit dem Schieberegler. Bestimmt anschließend die beiden positiven Nullstellen der Gewinnfunktion (G(x) = 0).

Erlös E(x), Kosten K(x) & Gewinnzone G(x) Menge x = 3.5 ME

Kurven-Fokus (Ein/Aus):

Gewinnzone

Ergebnisprüfung: Nullstellen & Gewinnzone

Bestimmt die beiden positiven Nullstellen der Gewinnfunktion (G(x) = 0) und tragt die Werte ein:

a) Gewinnschwelle x₁ (erste Nullstelle in ME)?

b) Gewinngrenze x₂ (zweite Nullstelle in ME)?

Gestufte Hilfe:

💡 Tipp 1 (Ökonomische Idee): An der Gewinnschwelle (Break-Even-Point) und an der Gewinngrenze sind Erlös und Kosten exakt gleich hoch (E(x) = K(x)), sodass der Gewinn genau null beträgt (G(x) = 0).

Dein Lernziel-Check zu Station 4

Wenn du diese Station erfolgreich bearbeitet und verstanden hast, hast du Folgendes gelernt:

Du kannst Gewinnschwelle (Break-Even-Point) und Gewinngrenze als Nullstellen der Gewinnfunktion (G(x) = 0) sowie als Schnittpunkte von E(x) und K(x) bestimmen.
Du kannst die Gewinnzone als Mengenintervall angeben und wirtschaftlich beurteilen, in welchem Produktionsbereich das Unternehmen profitabel arbeitet.

Station 5 · Gewinnmaximum & Fixkostenanalyse

Das Investitions-Dilemma der Rösterei

Maya hat die Gewinnzone in Station 4 ermittelt. Nun fragt die Geschäftsführung: „Bei welcher genauen Röstmenge x erzielt Cozy Coffee den ALLERGRÖSSTEN Gewinn G_max?“

Das Gewinnmodell 3. Grades

Gegebene Gewinnfunktion G(x):

G(x) = -x³ + 9x² - 15x - K_f

Die Behauptung des Steuerberaters:

„Wenn nächsten Monat die Miete und Fixkosten K_f der Rösterei steigen, müssen wir zwingend MEHR Kaffee produzieren, um den Punkt des höchsten Gewinns wieder zu erreichen!“

Euer Forschungsauftrag: 1. Nutzt den Mengen-Regler, um den Hochpunkt der Gewinnkurve abzulesen.
2. Testet über den Fixkosten-Regler K_f, ob der Steuerberater Recht hat!

Hochpunkt der Gewinnkurve G(x) erkunden Menge x = 5 ME | Fixkosten K_f = 10 GE

Gewinnkurve G(x)

Gewinnmaximum G_max

Fixkosten-Verschiebe-Achse

1. Röstmenge testen: x (ME) 5.0 ME

2. Fixkosten variieren: K_f (GE) 10 GE

Ablese- & Experimentierprüfung

Lies das Gewinnmaximum bei einer Fixkostenhöhe von K_f = 10 GE aus dem Diagramm ab und überprüfe die Auswirkung bei Erhöhung auf K_f = 15 GE:

a) Gewinnmaximale Menge x_G (in ME)?

b) Maximaler Gewinn G_max bei K_f = 10 (GE)?

c) Schiebe die Fixkosten auf K_f = 15 GE: Was passiert?

Veränderung der Menge x_G:

Veränderung von G_max:

Gestufte Hilfe:

Reflexion: Begründung an Maya Gemini AI

Begründe in eigenen Worten für Maya: Warum muss Cozy Coffee bei einer Mieterhöhung (höheren Fixkosten K_f) NICHT mehr Kaffeemenge produzieren, um das Gewinnmaximum zu erreichen?

Dein Lernziel-Check zu Station 5

Wenn du diese Station erfolgreich bearbeitet und verstanden hast, hast du Folgendes gelernt:

Du kannst den Hochpunkt der Gewinnfunktion ablesen und sauber zwischen der gewinnmaximalen Menge (x_G) und dem maximalen Gewinn (G_max) unterscheiden.
Du kannst begründen, warum eine Veränderung der Fixkosten (K_f) die Gewinnkurve nur vertikal verschiebt und die gewinnmaximale Produktionsmenge x_G nicht verändert.

Station 6 · Monopol: PAF & Erlösparabel

Marktanalyse für „Cozy Reserve“

E-Mail von Controlling & Marktforschung Intern

An: Maya (Geschäftsführung Cozy Coffee)

Betreff: Marktanalyse & Preissetzung Exklusiv-Kaffee

„Hallo Maya, für unsere neue Bio-Spezialität ‚Cozy Reserve‘ besitzen wir die Exklusivrechte und agieren als Monopolist am Markt. Die Auswertung der Testverkäufe liefert folgende Schlüsseldaten:

Höchstpreis p_n: 24 GE/ME
Sättigungsmenge x_S: 12 ME
Preissensitivität (Steigung m): 2 GE pro ME

Preis-Absatz-Gerade p(x) & Erlösparabel E(x) Menge x = 6 ME

Preis-Absatz p(x)

Erlösparabel E(x) = p(x) · x

Maximaler Erlös E_max

Live-Einsetz-Lupe (Vom Stückpreis zum Gesamterlös): E(x) = p(x) · x

Ergebnisprüfung: Marktdaten & Preis-Absatz-Funktion

1. Trage die Koeffizienten der Preis-Absatz-Funktion p(x) ein:

p(x) =

2. Kennzahlen der Marktanalyse & Erlös:

a) Höchstpreis p_n (GE/ME)?

b) Sättigungsmenge x_S (ME)?

c) Erlösmaximale Menge (ME)?

Gestufte Hilfe:

📐 Tipp 2 (Preis-Absatz-Funktion aufstellen): Die Gerade fällt pro ME um m GE ab (daher negative Steigung -m) und startet beim Höchstpreis p_n auf der y-Achse: p(x) = -m · x + p_n.

Aufgabe: Das Erlös-Paradoxon Gemini AI

Erkläre in eigenen Worten: Warum sinkt der Gesamterlös E(x) im Monopol ab einer bestimmten Verkaufsmenge wieder, obwohl doch MEHR Kaffeemenge verkauft wird?

Dein Lernziel-Check zu Station 6

Wenn du diese Station erfolgreich bearbeitet und verstanden hast, hast du Folgendes gelernt:

Du kannst die Preis-Absatz-Funktion p(x) im Monopol aufstellen sowie Höchstpreis (p_n) und Sättigungsmenge (x_S) bestimmen.
Du verstehst, warum die Erlösfunktion E(x) = p(x) · x im Monopol eine nach unten geöffnete Parabel bildet und kannst das Erlösmaximum ermitteln.

Station 7 · Das Gewinnmaximum & der Cournot'sche Punkt

Der Cournot'sche Punkt P_C im Doppel-Diagramm

Um im Monopol den maximalen Gewinn zu erzielen, sucht Maya diejenige Menge x_G, bei der die Gewinnkurve G(x) im unteren Diagramm ihren höchsten Punkt erreicht – und liest senkrecht darüber im oberen Diagramm den optimalen Verkaufspreis p_C ab.

Das Monopol-Modell

Preis-Absatz-Funktion: p(x) = -2x + 24
Ertragsgesetzl. Kostenfunktion: K(x) = x³ - 5x² + 15x + 12
Resultierende Gewinnfunktion: G(x) = -x³ + 3x² + 9x - 12

Die klassische Schülerfalle!

Der Cournot'sche Punkt P_C(x_G | p_C) liegt NICHT auf der Gewinnkurve, sondern senkrecht darüber im oberen Diagramm auf der Preis-Absatz-Geraden p(x)!

Scanner aktiv...

Menge x = 1 ME

Kurven-Fokus (System ②):

p(x)

Cournot-Punkt P_C(x_G | p_C)

Ergebnisprüfung: Cournot'scher Punkt P_C

a) Gewinnmax. Menge x_G (ME)?

b) Cournot-Preis p_C (GE/ME)?

c) Maximaler Gewinn G_max (GE)?

Gestufte Hilfe:

Dein Lernziel-Check zu Station 7

Wenn du diese Station erfolgreich bearbeitet und verstanden hast, hast du Folgendes gelernt:

Du kannst im Monopol die gewinnmaximale Menge (x_G) und den maximalen Gesamtgewinn (G_max) bestimmen.
Du kannst den Cournot'schen Punkt P_C(x_G | p_C) auf der Preis-Absatz-Funktion ermitteln und vermeidest die Verwechslung zwischen Cournot-Preis p_C und Maximalgewinn G_max.

Das Rätsel der Kaffeerösterei

Ergebnisprüfung zur Abrechnung

Das Kapazitäts-Dilemma der Rösterei

Begriffs- & Verlaufsprüfung Station 2

Der Kaffeemarkt: Erlös & Gewinn im Polypol

Ergebnisprüfung: Gewinnfunktion G(x)

Das Controlling-Gutachten im Polypol

Ergebnisprüfung: Nullstellen & Gewinnzone

Das Investitions-Dilemma der Rösterei

Ablese- & Experimentierprüfung

Marktanalyse für „Cozy Reserve“

Ergebnisprüfung: Marktdaten & Preis-Absatz-Funktion

Der Cournot'sche Punkt PC im Doppel-Diagramm

Ergebnisprüfung: Cournot'scher Punkt PC

Theorie: Lineare Kostenfunktion

Ertragsgesetzlicher Kostenverlauf

Theorie: Erlös & Gewinn im Polypol

Gewinnschwelle & Gewinngrenze

Theorie: Gewinnmaximum & Fixkosten

Theorie: Preis-Absatz-Funktion & Erlösparabel

Theorie: Cournot'scher Punkt

Erklärvideo: Gewinnfunktion & Nullstellen

Der Cournot'sche Punkt P_C im Doppel-Diagramm

Ergebnisprüfung: Cournot'scher Punkt P_C